Laver les pommes de terre et faire cuire à la vapeur 25 minutes environ. Passé ce temps, laisser tiédir, enlever la peau, réduire en purée avec une fourchette ou un presse-purée. Couvrir de film étirable et laisser refroidir.
Pendant ce temps, écosser les fèves en retirant l'enveloppe. Débarrasser les fèves du germe s'il reste accroché. Porter à ébullition un grand volume d'eau et préparer un grand volume d'eau très froide.
Pré-cuire les fèves dans l'eau bouillante pendant 5 minutes, égoutter et les plonger immédiatement dans l'eau très froide. Enlever alors l'enveloppe en pressant l'une des extrémités ou en donnant un coup d'ongle délicat.
La purée refroidie, incorporer le jaune d'oeuf, le sel, le poivre et la cuillère de parmesan. Ajouter alors la farine progressivement, en pétrissant, jusqu'à ce que ça ne colle plus aux mains. On obtient une pâte souple, peu granuleuse et homogène.
Fariner le plan de travail, séparer la matière en plusieurs parts. Rouler en un boudin et découper des tronçons . Rouler en une boule et, à l'aide des dents d'une fourchette, faire des zébrures.
Faire sauter les fèves à la poêle, dans une cuillère à soupe d'huile d'olive, 2 à 3 minutes pour qu'elles restent croquantes. Assaisonner et réserver.
Préparer la sauce ; faire chauffer la crème liquide sur feu doux, en y ajoutant le basilic ciselé, le sel, le poivre, la gousse d'ail dégermée et réduite en purée. Bien mélanger. Ajouter un peu d'eau si nécessaire. Incorporer l'arrow root préalablement diluée dans un peu d'eau. Bien mélanger et laisser épaissir quelques minutes. Faire cuire les gnocchis dans un grand volume d'eau bouillant légèrement salé. Disposer les gnocchis, y superposer les fèves, napper avec la sauce et saupoudrer de parmesan.
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